Ordinato sacerdote il 20 aprile 1946, si laurea in Teologia nel 1947 e in Diritto Canonico nel 1950 all'Università lateranense. Arcivescovo della Mauriana nel 1969, è nominato delegato apostolico di Gerusalemme e della Palestina. Nell'aprile del 1974, Laghi viene trasferito in Argentina come Nunzio apostolico. Vi rimane fino al 1980, quando è inviato negli Stati Uniti, come Delegato apostolico. Anche grazie alla sua opera nel marzo del 1984, vengono stabilite le relazioni diplomatiche ufficiali tra la Santa Sede e il governo degli Stati Uniti d'America. Fatto ritorno a Roma, il primo luglio del 1991, è nominato prefetto della Congregazione per l'educazione cattolica, dopo essere stato creato cardinale da Giovanni Paolo II nel Concistoro del giugno dello stesso anno. Molto discussi i suoi anni passati in Argentina durante la dittatura dei generali: il cardinale si è sempre difeso affermando di non essere mai stato a conoscenza delle atrocità commesse dal regime.